jueves, 12 de diciembre de 2013

¿Cánto mide un semitón? (II)

Imos seguir coas matemáticas e, dos temperamentos ímonos ficar co chamado pitagórico. Pitágoras de Samos foi un filósofo e matemático que nos legou unha manchea de avances en matemáticas, xeometría e música. A el debemolo descobrimento das leis que rixen os intervalos musicáis, a relación entre os sons da escala. O temperamento pitagórico baséase nos intervalos de quinta xusta e se caracterizan por ter unha relación de frecuencias 3:2, dito doutro xeito, dado un par de notas a distancia de quinta xusta, a frecuencia da nota superior é 1,5 veces a frecuencia da nota inferior.

Como vexo que tedes o ordeador á man (¿alguén é quén de ler isto nun smartphone?) podedes ir abrindo a folla de cálculom, ímola necesitar.

En primeiro lugar imos escribir unha serie de quintas nunha columna da folla de cálculo ate obter as doce notas dunha escala cromática e unha máis (logo veremos por qué). Comezamos polo mib ate chegar ó re#. Dúas columnas máis á dereita, unha que chamaremos numerador e outra que chamaremos denominador. Na fila do la escribiremos 1 nas celdas de numerador e denominador. Agora, partindo do la, que vai ser a nosa nota de referencia, imos ir aplicando para cada quinta ascendente a relación 3:2. Para cada nota consistirá en multiplicar o numerador da nota anterior por 3 e o denominador por 2, e así sucesivamente ate chegar ó re#. Para as descendentes hai que facer a operación inversa, en lugar de aplicar a relación 3:2 aplicamos o inverso, que é 2:3, así, deste xeito baixamos ate o mibmultiplicando o numerador da nota superior por 2 e o denominador por 3 en cada quinta que vaiamos baixando. De facelo correctamente deberíamos obter unha tabla como a da Figura 1.
Figura 1
Para o seguinte paso marquéi os saltos de octava cunha liña, porque vainos facilitar a seguinte tarefa. Como no caso do temperamento igual, queremos ter todolos valores dentro dunha octava e, dado que nos movemos quinta arriba e quinta abaixo dende o la, cambiámonos de octava arriba e abaixo varias veces. Nuha colummna imos marcar a cantidad de octavas (ollo, cada paso por un laé un cambio de octava, non cada paso polo do, xa que tomamos como base o la) de distancia á que está cada nota con relación ó la e á súa dereita a potencia de 2 que lle corresponde (3 octavas = 2^3 = 8).
O resultado é o que se ve na Figura 2. Estas potencias vannos servir para correxir os saltos de octava. No caso de que subíramos de octava multiplicaremos o valor do denominador pola potencia de 2 correspondente, e no caso que baixaramos de octava multiplicarmos o numerador. É sinxelo, para subir de octava hai que multiplicar por 2 por cada octava a subir, para baixar hai que dividir, pero para dividir podemos multiplicar no denominador, que é a operación equivalente.
Figura 2
Feitos os axustea sobre unhas novas columnas (que eu chaméi num. axust. e denom. axust.) obtemos os valores que definen cada intervalo e ademáis calcularemos o resultado desa fracción nunha columna que chamaremos razón, tal como se ve na Figura 3:
Figura 3
Chegados a este punto rexeitamos todolos valores intermedios que serviron de cálculo e nos quedamos só cos nomes das trece notas, num. axust., denom. axust. (ós que lle acortei o nome) e a columna razón e ordeamos todo en función desta última columna. Se o fixemos ben veremos que a columna cos nomes das notas queda ordeada segundo unha escala cromática que comeza no la e termina en sol#, como se ve na Figura 4.
Figura 4
Xa podemos obter a medida do semitón, para axudarnos poñemos nunhha columna cada intervalr e a carón dela o resultado de dividir a razón da nota superior entrea a da nota inferior: iso da o factor no que varía a frecuencia con cada semitón. ¿Hai algo salientable na Figura 5? Pódese ver que hai dous tipos de semitón neste temperamento; o diatónico, o que hai entre dúas notas de distinto nome e que é máis curto, máis pechado, e o cromático, o que hai entre dúas notas do mesmo nome alterar cun bemol ou un sostidoe que é máis longo, más aberto. Hai outra peculiaridade xa que mib e re# teñen unha pequena diferencia, non son a mesma nota a pesares de que esteamos afeitos a elo (e por extensión de ter continuado a serie de quintas pasaría o mesmo entre do#-reb, fa#-solb, etc.).
Figura 5
Aínda que xa chegamos ó punto no que debería rematar esta entrada, que é establecer o valor do semitón, en realidade a comprender a exsitencia de dous tipos de semitóns, podemos ir un pasiño maís aló e ver qué intervalos concretos quedan definidos por estas relacións.
Figura 6
A anotada como 3ª maior é en realidad un ditono, máis aberto e disonante que a terceira maior pura (á que lle correspondería unha relacón 5:$).
E de continuarmos a progresión cara arriba para acadar un intervalo de quinta a partires de cada unha das doce notas podemos comprobar que todos eles, salvo un, cumpren coa relación 3:2 (represetnada aquí como 1,5) da que pariamos teóricamente. O último intervalor sol#-mib, en realidade, non é unha quinta, senon algo máis próximo a unha sexta menor que se coñece como quinta do lobo.
Figura 7

No hay comentarios:

Publicar un comentario